Capítulo 7 Medidas de posição: quartis

A média, mediana, moda e ponto médio são um tipo de medidas de posição que indicam uma posição particular, isto é, a posição central ao redor da qual os dados estão dispersos. Existem no entanto, outras medidas de posição como quartis, medidas comumente utilizadas na descrição, análise e interpretação de dados.

Os quartis de uma distribuição de valores são obtidos após ordenarmos os dados em ordem crescente e em seguida agrupá-los em partes iguais, contendo cada uma 25% do número total de observações. Se temos 20 observações, cada parte conterá portanto cinco observações, \(20 \times 0.25 = 5\) e os quartis são as posições que dividem estas partes.

Os quartis podem ser indicados por \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\), conforme a figura abaixo.

Figure 7.1: Divisão de uma distribuição de valores em quartis

\(Q_{1}\) O ponto que separa os 25% menores valores do restante da distribuição.

\(Q_{2}\): O ponto que separa os 50% menores valores dos 50% maiores. Este coincide com a Mediana apresentada anteriormente.

\(Q_{3}\): O ponto que separa os 25% maiores valores do restante da distribuição.

Os quartis que veremos aqui são medidas empíricas dos limites indicados na figura acima. Calculamos estes limites a paritr de uma amostra de tamanho \(n\).

7.1 Cálculo dos quartis na posição \(j\) (\(Q_j\), para \(j = 1\), \(2\) e \(3\))

Existem diferentes algorítmos possíveis para o cálculo dos quartis. Veremos um tipo de algoritmo. Para isto, siga os passos abaixo:

Re-organize \(X\) em ordem crescente de \(k = 1\) a \(k = n\). Seja \(n\) o número de observações em \(X\), teremos portantro \(X_k\) como o valor observado na posição \(k\) em ordem crescente. Deste modo, para \(k = 1\) teremos \(X_1\) como o menor valor e para \(k = n\) teremos \(X_n\) como o maior valor.
Calcule

\(L = \frac{j \times (n+1)}{4}\);

Defina \(k\) como o maior número inteiro abaixo de \(L\);
Calcule

\(Q_j = X_k + (L - k) \times (X_{k+1}-X_k)\);

\(Q_j\) será um elemento entre \(X_k\) e \(X_{k+1}\). Se \(X_k\) for um número inteiro, \(Q_j = X_k\)

Exemplo para o cálculo de \(Q_1\)

Considere a variável \(X\) com \(n =\) 20 observações.

\(X\) = 8.7, 10.4, 8.3, 13.2, 10.7, 8.4, 11, 11.5, 11.2, 9.4, 13, 10.8, 8.8, 5.6, 12.2, 9.9, 10, 11.9, 11.6, 11.2

Arrange \(X\) em ordem crescente para determinar \(X\) nas posições \(k\).

Posicao k	X ordenado
1a Posição	5.6
2a Posição	8.3
3a Posição	8.4
4a Posição	8.7
5a Posição	8.8
6a Posição	9.4
7a Posição	9.9
8a Posição	10.0
9a Posição	10.4
10a Posição	10.7
11a Posição	10.8
12a Posição	11.0
13a Posição	11.2
14a Posição	11.2
15a Posição	11.5
16a Posição	11.6
17a Posição	11.9
18a Posição	12.2
19a Posição	13.0
20a Posição	13.2

Para \(j = 1\) (\(Q_1\)) calcule:

\(L = \frac{1 \times (20+1)}{4} = 5.25\);

Defina \(k\) como o maior número inteiro abaixo de \(L\). Portanto, se \(L = 5.25\), \(k = 5\).
Do item anterior, note que a observação correspondente à \(k = 5\) (5\(^a\) posição) é 8.8, enquanto a observação correspondente à \(k = 5 + 1 = 6\) (6\(^a\) posição) é 9.4. Deste modo, calcule

\(Q_1 = 8.8 + (5.25 - 5) \times (9.4-8.8) = 8.95\);

Vemos então que para a variável \(X\) em questão, o primeiro quartil é:

\(Q_1 = 8.95\)

Exercício: Calcule agora os valores corrspondentes a \(Q_2\) e \(Q_3\) e verifique que os resultados são: \(Q_2 = 10.75\) e \(Q_3 = 11.575\)

7.2 Cálculo dos quartis no R

Podemos programar a sequência de funções acima utilizando o R:

X = c(8.7, 10.4, 8.3, 13.2, 10.7, 8.4, 11, 11.5, 11.2, 9.4, 
      13, 10.8, 8.8, 5.6, 12.2, 9.9, 10, 11.9, 11.6, 11.2)

# Ordenando X em ordem crescente
sX = sort(X, decreasing = FALSE)
# Encontrando o número de observações em X
n = length(X) 
# Encontrando os quartis (Q1, Q2 e Q3)
j = c(1, 2, 3)
L = j * (n + 1)/4
k = floor(L)
Q = sX[k] + (L - k) * (sX[k+1] - sX[k])
names(Q) = c('Q1', 'Q2', 'Q3')

# Vizualizando os quartis
Q

##     Q1     Q2     Q3 
##  8.950 10.750 11.575

No entando, existe uma função no R denominada quantile que pode ser utilizada da seguinte forma:

quantile(X, probs = c(0.25, 0.50, 0.75))

##    25%    50%    75% 
##  9.250 10.750 11.525

Observações

Lembre que o quartil \(Q_1\) delimita a posição \(25\%\), \(Q_2\) delimita a posição \(50\%\) (\(=\)mediana) e \(Q_3\) delimita as posição \(75\%\). Por este motivo utilizamos o argumento probs = c(0.25, 0.50, 0.75). Deste modo, a função quantile é mais geral que a rotina passada anteriormente, uma vez que permite o cálculo para qualquer posição entre os quantis \(0\%\) e \(100\%\).
Note também que os resultados foram ligeiramente diferentes uma vez que existem diferentes algoritmos para o cálculo dos quartis. A função quantile permite a escolha entre \(9\) algoritmos diferentes e por padrão, utiliza o type = 7. O passo-a-passo que mostramos nesta apostila corresponde ao type = 6. Você pode verificar que se digitar o comando abaixo, os resultados serão os mesmos que calculamos manualmente.

quantile(X, probs = c(0.25, 0.50, 0.75), type = 6)

##    25%    50%    75% 
##  8.950 10.750 11.575

Ainda que cada algoritmo possa resultar em pequenas diferenças, estas diferenças diminuem à medida que o tamanho amostral aumenta.
Finalmente, os quartis discutidos aqui são casos particulares de limites mais gerais denominados de quantis que indicam uma deteminama posição na distribuição. Como vimos, o limite \(Q_1\) por exemplo, denominado de Quartil 1 delimita o trecho que separa \(25\%\). Poderíamos denominar este limite de Quantil \(0,25\). Pensando desta maneira, poderíamos encontrar qualquer posição. Por exemplo o quantil \(0,10\), que delimita os \(10\%\) dos menores valores, o quantil \(0,025\) que delimita os \(2,5\%\) menores valores na distribuição, e assim, por diante.
Veremos ao longo desta apostila que além dos limites de \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\), outros limites importantes são aqueles que definem as posições \(2,5\%\), \(5\%\), \(10\%\), \(90\%\), \(95\%\) e \(97,5\%\). Todos estes limites aparecerão de forma recorrente em estatística inferencial e probabilidade.
No calculo dos quantis para um limite \(p\) qualquer (\(0 \le p \le 1\)) a única mundança no algoritmno que apresentamos neste capítulo está na obtenção de \(L\) (passo 2), que é feita como:

\[L = p \times (n+1)\]

7.3 Obtendo os quartis a partir de uma tabela de dados

Carregue o pacote tidyverse e importe novamente a base de dados Reservatorios_Parana_parcial.csv.

# Carrega pacotes
library(tidyverse)
# Importa base de dados 
res = read_delim('Reservatorios_Parana_parcial.csv',
                  delim = ',',
                  locale = locale(decimal_mark = '.',
                                  encoding = 'latin1'))

Assim como fizemos nos capítulos anteriores usaremos a função summarise para obter os quartis para a variável CPUE.

res %>% 
  summarise(Quartis = quantile(res$CPUE, 
                               probs = c(0.25, 0.5, 0.75))) %>% 
  mutate(Limites = c('25%', '50%', '75%'))

Quartis	Limites
7.43	25%
11.74	50%
16.30	75%

7.4 Regresentação gráfica dos quartis: Boxplots

Os quartis de uma distribuição no ajudam a entender o formato de uma distribuição. Uma das formas amplamemte estabelecidas de representarmos graficamente os quartis são por meio de um gráfico denominado de Boxplot. Para a variável acima, o boxplot será:

Figure 7.2: Divisão em quartis de um boxplot

Em um boxplot, a linha central mais expessa representa a Mediana ou \(2^o\) quartil (\(Q_2\)), os limites da caixa são o \(1^o\) e \(3^o\) quartis, respectivamente \(Q_1\) e \(Q_3\). As extremidades geralmente são os pontos máximo e mínimo da dsitribuição.

Existe uma relação entre os histogramas e os boxplots. Ambos podem ser utilizados para avaliarmos o grau de assimetria de uma distribuição como apresentado abaixo. Em uma distribuição simétrica, a caixa do boxplot tende a se concentrar no meio da distribuição, enquanto em distribuições assimétricas, a caixa tende a ficar deslocada à esquerda ou à direita.

Figure 7.3: Relação entre as representações por meio de histogramas e boxplots