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title: "Leitura Prévia - Aula 04"
subtitle: "A Distribuição Normal como modelo preditivo"
author:
- "Prof. Fabio Cop (*fcferreira@unifesp.br*)"
- "Instituto do Mar - Unifesp"
date: today
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# Introdução
Nas aulas anteriores, os modelos probabilísticos descreviam variáveis que assumem valores inteiros e contáveis como o número de sucessos em uma série de ensaios, a contagem de ocorrências em um intervalo fixo, a composição de uma urna. Para cada valor $k$, é possível atribuir uma probabilidade $P(X = k)$, e a soma dessas probabilidades sobre todos os valores possíveis é exatamente 1.
Muitas variáveis, no entanto, são contínuas, como a altura de um indivíduo, a temperatura da superfície do mar, a concentração de oxigênio dissolvido, a biomassa de uma espécie em diferentes estações. Essas variáveis não assumem valores discretos e enumeráveis e a estrutura de probabilidade que as descreve é fundamentalmente diferente.
Esta leitura apresenta a Distribuição Normal como o modelo probabilístico central para variáveis contínuas simétricas. O objetivo é desenvolver a compreensão de como esse modelo é construído, o que seus parâmetros significam e como ele é usado dentro de uma estrutura bayesiana, definindo distribuições a priori para os parâmetros antes de qualquer observação.
# De variáveis discretas a variáveis contínuas
## Função massa de probabilidade
Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade (FMP) atribui uma probabilidade a cada valor possível. Se $X$ é o número de sucessos em $n$ ensaios com probabilidade $p$, a FMP é:
$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}$$
Cada valor $P(X = k)$ está no intervalo $[0, 1]$ e a soma sobre todos os valores possíveis é exatamente 1. A probabilidade de qualquer valor específico é um número bem definido e positivo.
## Função densidade de probabilidade
Para variáveis aleatórias **contínuas**, a abordagem pontual não é possível. Se $X$ é a altura de um adulto escolhido ao acaso, qual é $P(X = 168{,}3\text{ cm})$? Em uma escala contínua, existem infinitos valores possíveis no intervalo de qualquer dois números reais, de modo que a probabilidade de um valor exato é zero.
A quantidade relevante passa a ser a probabilidade de um intervalo entre dois limites $a$ e $b$, expressa por: $P(a \leq X \leq b)$. A ferramenta que organiza essa informação é a função densidade de probabilidade (FDP), denotada $f(x)$.
::: {.callout-note appearance="minimal" title="Definição: função densidade de probabilidade"}
Uma função $f(x)$ é uma função densidade de probabilidade se satisfaz duas condições:
1. $f(x) \geq 0$ para todo $x$.
2. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1$: a área total sob a curva é 1.
A probabilidade de $X$ pertencer ao intervalo $[a, b]$ é a área sob a curva entre $a$ e $b$:
$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx$$
:::
::: {.callout-important appearance="minimal" title="Densidade não é probabilidade"}
O valor $f(x)$ não é a probabilidade de $X = x$. É a **densidade de probabilidade** no ponto $x$, ou seja, a concentração de probabilidade por unidade da variável naquele ponto.
Como consequência, $f(x)$ pode ser maior do que 1. Uma distribuição muito estreita, como a Distribuição Normal com $\mu = 0$ e $\sigma = 0{,}1$, tem $f(0) \approx 3{,}99$. Esse valor não viola nenhuma propriedade da FDP, pois a área total sob essa curva estreita e alta ainda integra para 1. A probabilidade está sempre na área, nunca na altura pontual da curva.
:::
# A Distribuição Normal
## Construção intuitiva da curva
A Distribuição Normal surge de uma pergunta simples: qual função matemática produz uma curva simétrica com formato de sino, decrescendo suavemente do centro em direção às caudas?
Uma candidata natural é a função exponencial com expoente quadrático negativo:
$$f(x) \propto e^{-x^2}$$
Essa função é máxima em $x = 0$, simétrica ao redor de zero e decai rapidamente para valores distantes da origem. Para deslocar o centro da curva para qualquer posição $\mu$ e controlar a abertura da curva com o parâmetro $\sigma$, substitui-se $x$ por $(x - \mu)/\sigma$:
$$f(x) \propto \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
O denominador $2\sigma^2$ no expoente regula a velocidade de decaimento. Valores grandes de $\sigma$ tornam o decaimento lento e a curva larga. Valores pequenos de $\sigma$ tornam o decaimento rápido e a curva estreita. A constante $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ garante que a área total seja 1, transformando a expressão em uma FDP válida.
::: {.callout-note appearance="minimal" title="Leituras preparatórias"}
O material a seguir apresenta a construção do modelo Normal a partir de dados de altura, detalhando os cálculos e a intuição geométrica por trás da função densidade de probabilidade.
1. [Um modelo para a distribuição de alturas](https://fcopf.github.io/mead/content/distribuicao-normal/distribuicao-normal-modelo.html){target="_blank"}: apresenta a derivação da curva Normal a partir de dados reais de altura, explicando o papel de cada parâmetro na forma e posição da distribuição.
:::
## A função densidade de probabilidade
::: {.callout-note appearance="minimal" title="A Distribuição Normal"}
Uma variável aleatória $X$ tem Distribuição Normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ quando sua FDP é:
$$f(x \mid \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in (-\infty, +\infty)$$
A notação padrão é:
$$X \sim \text{Normal}(\mu,\, \sigma)$$
Os parâmetros $\mu$ e $\sigma$ determinam completamente a forma e a posição da curva.
:::
## Interpretação dos parâmetros
**O parâmetro $\mu$ (média)** controla a localização da curva. É o ponto de máxima densidade, ao redor do qual a distribuição está centrada. A Distribuição Normal é perfeitamente simétrica ao redor de $\mu$, de modo que a média, a mediana e a moda coincidem nesse ponto. Alterar $\mu$ desloca toda a curva horizontalmente sem alterar sua forma.
**O parâmetro $\sigma$ (desvio padrão)** controla a dispersão da distribuição. Valores menores de $\sigma$ produzem curvas mais estreitas e altas, indicando que a maior parte da probabilidade está concentrada em uma faixa estreita ao redor de $\mu$. Valores maiores de $\sigma$ produzem curvas mais largas e baixas, distribuindo a probabilidade por uma faixa mais ampla. Em ambos os casos, a área total sob a curva permanece 1.
```{r}
#| fig-width: 10
#| code-fold: true
# Grade de valores no eixo x
x <- seq(110, 220, length.out = 500)
# Curva de referência
fx_ref <- dnorm(x, mean = 160, sd = 10)
# Efeito de mudar mu
fx_mu2 <- dnorm(x, mean = 175, sd = 10)
# Efeito de mudar sigma
fx_s1 <- dnorm(x, mean = 160, sd = 5)
fx_s2 <- dnorm(x, mean = 160, sd = 20)
par(mfrow = c(1, 2))
# Painel 1: efeito de mu (sigma fixo = 10)
plot(x, fx_ref, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
ylim = c(0, 0.085),
xlab = "Altura (cm)", ylab = "Densidade",
main = expression("Efeito de " * mu ~ "(" * sigma == 10 * ")"))
lines(x, fx_mu2, col = "orange", lwd = 2)
legend("topright",
legend = c(expression(mu == 160),
expression(mu == 175)),
col = c("steelblue", "orange"),
lwd = 2, bty = "n")
# Painel 2: efeito de sigma (mu fixo = 160)
plot(x, fx_ref, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
ylim = c(0, 0.085),
xlab = "Altura (cm)", ylab = "Densidade",
main = expression("Efeito de " * sigma ~ "(" * mu == 160 * ")"))
lines(x, fx_s1, col = "darkgreen", lwd = 2)
lines(x, fx_s2, col = "red", lwd = 2)
legend("topright",
legend = c(expression(sigma == 10),
expression(sigma == 5),
expression(sigma == 20)),
col = c("steelblue", "darkgreen", "red"),
lwd = 2, bty = "n")
```
```{r}
#| echo: false
par(mfrow = c(1, 1))
```
::: {.callout-important appearance="minimal" title="Regra empírica da Distribuição Normal"}
A simetria da Distribuição Normal implica uma distribuição específica da probabilidade ao redor de $\mu$:
| Intervalo | Probabilidade aproximada |
|---|---|
| $[\mu - \sigma,\; \mu + \sigma]$ | 68% |
| $[\mu - 2\sigma,\; \mu + 2\sigma]$ | 95% |
| $[\mu - 3\sigma,\; \mu + 3\sigma]$ | 99,7% |
Essa regra empírica permite raciocinar rapidamente sobre a distribuição sem cálculos. Se $X \sim \text{Normal}(160, 10)$, então aproximadamente 95% das observações esperadas estão no intervalo $[140, 180]$, e valores mais extremos que $[130, 190]$ são raros.
```{r}
#| echo: false
#| fig-width: 10
#| fig-height: 5
#| fig-cap: "Regra empírica da Distribuição Normal: áreas centrais de aproximadamente 68%, 95% e 99,7% ao redor da média."
#| label: fig-normal-rule
library(ggplot2)
x <- seq(-3.5, 3.5, length.out = 800)
normal_df <- data.frame(
x = x,
densidade = dnorm(x)
)
faixa_3s <- subset(normal_df, x >= -3 & x <= 3)
faixa_2s <- subset(normal_df, x >= -2 & x <= 2)
faixa_1s <- subset(normal_df, x >= -1 & x <= 1)
marcas <- data.frame(x = -3:3)
ggplot(normal_df, aes(x = x, y = densidade)) +
geom_area(data = faixa_3s, fill = "#cfe8df", alpha = 0.9) +
geom_area(data = faixa_2s, fill = "#74a892", alpha = 0.75) +
geom_area(data = faixa_1s, fill = "#1f5c4d", alpha = 0.85) +
geom_line(linewidth = 1.1, color = "#103b31") +
geom_vline(
data = marcas,
aes(xintercept = x),
linetype = "dashed",
linewidth = 0.5,
color = "gray35"
) +
annotate("text", x = 0, y = 0.23, label = "68%", color = "white", size = 7.2, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 0, y = 0.14, label = "95%", color = "white", size = 5.8, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 0, y = 0.05, label = "99,7%", color = "white", size = 5.0, fontface = "bold") +
annotate(
"segment",
y = 0.20, yend = 0.20,
x = min(faixa_1s), xend = max(faixa_1s),
linewidth = 0.9, color = "black", linetype = "longdash",
lineend = "round"
) +
annotate(
"segment",
y = 0.115, yend = 0.115,
x = min(faixa_2s), xend = max(faixa_2s),
linewidth = 0.95, color = "black", linetype = "longdash",
lineend = "round"
) +
annotate(
"segment",
y = 0.03, yend = 0.03,
x = min(faixa_3s), xend = max(faixa_3s),
linewidth = 1, color = "black", linetype = "longdash",
lineend = "round"
) +
scale_x_continuous(
breaks = -3:3,
labels = c(
expression(mu - 3 * sigma),
expression(mu - 2 * sigma),
expression(mu - sigma),
expression(mu),
expression(mu + sigma),
expression(mu + 2 * sigma),
expression(mu + 3 * sigma)
)
) +
scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
labs(x = NULL, y = "Densidade") +
theme_minimal(base_size = 12) +
theme(
panel.grid.minor = element_blank(),
panel.grid.major.x = element_blank(),
axis.text.x = element_text(size = 11),
plot.caption = element_text(hjust = 0)
)
```
:::
# Calculando probabilidades
## Probabilidades de intervalo com pnorm()
A probabilidade de $X$ estar no intervalo $[a, b]$ corresponde à área sob a curva entre $a$ e $b$. Em R, a função `pnorm(q, mean, sd)` calcula a probabilidade acumulada até $q$, ou seja, $P(X \leq q)$:
$$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = \texttt{pnorm}(b, \mu, \sigma) - \texttt{pnorm}(a, \mu, \sigma)$$
**Exemplo 1.** Uma espécie de peixe tem comprimento distribuído segundo $X \sim \text{Normal}(30, 5)$ (em centímetros). Qual a probabilidade de um indivíduo ter comprimento entre 25 e 40 cm?
$$P(25 \leq X \leq 40) = \texttt{pnorm}(40, 30, 5) - \texttt{pnorm}(25, 30, 5)$$
```{r}
# Comprimento entre 25 e 40 cm: Normal(30, 5)
pnorm(40, mean = 30, sd = 5) - pnorm(25, mean = 30, sd = 5)
```
**Exemplo 2.** Qual a probabilidade de um comprimento acima de 38 cm?
$$P(X > 38) = 1 - P(X \leq 38) = 1 - \texttt{pnorm}(38, 30, 5)$$
```{r}
# Probabilidade de comprimento acima de 38 cm
1 - pnorm(38, mean = 30, sd = 5)
```
```{r}
#| code-fold: true
# Visualização: distribuição e área de interesse
x <- seq(10, 50, length.out = 400)
fx <- dnorm(x, mean = 30, sd = 5)
plot(x, fx, type = "l", lwd = 2,
xlab = "Comprimento (cm)", ylab = "Densidade",
main = "Normal(30, 5) — comprimento de peixes")
# Área entre 25 e 40 cm (sombreada)
x_int <- seq(25, 40, length.out = 200)
polygon(c(25, x_int, 40),
c(0, dnorm(x_int, mean = 30, sd = 5), 0),
col = rgb(0.2, 0.5, 0.8, 0.3), border = NA)
abline(v = c(25, 40), lty = 2, col = "gray50")
```
## Quantis com qnorm()
A função `qnorm(p, mean, sd)` resolve o problema inverso: dado que $P(X \leq q) = p$, qual o valor de $q$? Esse é o quantil de ordem $p$ da distribuição.
**Exemplo 1.** Para $X \sim \text{Normal}(30, 5)$, qual o comprimento abaixo do qual se encontram 90% dos indivíduos?
$$q_{0{,}90} = \texttt{qnorm}(0{,}90, 30, 5)$$
```{r}
# Quantil 90%: comprimento abaixo do qual estão 90% dos indivíduos
qnorm(0.90, mean = 30, sd = 5)
```
O resultado é aproximadamente 36,4 cm. Isso significa que 90% dos indivíduos têm comprimento inferior a 36,4 cm nesse modelo.
```{r}
#| echo: false
#| fig-width: 9
#| fig-height: 5
#| fig-cap: "Visualização do quantil de 90% para X ~ Normal(30, 5): a área acumulada até q0,90 corresponde a 90% da probabilidade."
library(ggplot2)
x <- seq(10, 50, length.out = 500)
q90 <- qnorm(0.90, mean = 30, sd = 5)
normal_df <- data.frame(
x = x,
densidade = dnorm(x, mean = 30, sd = 5)
)
faixa_q90 <- subset(normal_df, x <= q90)
ggplot(normal_df, aes(x = x, y = densidade)) +
geom_area(data = faixa_q90, fill = "#2f5646", alpha = 0.6) +
geom_line(linewidth = 1.1, color = "#103b31") +
geom_vline(xintercept = q90, linetype = "dashed", linewidth = 0.8, color = "#3d6a5e") +
annotate("text", x = 30, y = 0.04, label = "90%", color = "white", size = 8, fontface = "bold") +
annotate("text", x = q90, y = 0.055, label = "q[0.90] == 36.4", parse = TRUE, color = "#07241d", size = 6, hjust = -0.1) +
scale_x_continuous(
breaks = c(20, 25, 30, q90, 40, 45),
labels = c("20", "25", "30", "36,4", "40", "45")
) +
scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
labs(x = "Comprimento (cm)", y = "Densidade") +
theme_minimal(base_size = 15) +
theme(
panel.grid.minor = element_blank(),
panel.grid.major.x = element_blank()
)
```
A tabela abaixo resume as quatro funções disponíveis em R para a Distribuição Normal, todas com a mesma estrutura de argumentos:
| Função | Descrição |
|---|---|
| `dnorm(x, mean, sd)` | Densidade $f(x)$ no ponto $x$ |
| `pnorm(q, mean, sd)` | Probabilidade acumulada $P(X \leq q)$ |
| `qnorm(p, mean, sd)` | Quantil $q$ tal que $P(X \leq q) = p$ |
| `rnorm(n, mean, sd)` | Gera $n$ amostras aleatórias |
# O modelo bayesiano para alturas
![Histograma das alturas de alunos da Escola de Agricultura de Connecticut [@blakeslee1914corn]. $n = 175$ alunos com média $\overline{Y} = 170,94$ cm e desvio padrão $s = 6,86$. Retirado de @crow1997birth."](images/Blakeslee-1914-alturas.png){#fig-alturas_crow1997}
A partir da @fig-alturas_crow1997, percebemos que a maioria dos alunos tem alturas intermediárias, enquanto poucos são muito altos ou muito baixos, o que está de acordo com nossa intuição sobre a distribuição das alturas em adultos. A Distribuição Normal é o modelo probabilístico padrão para variáveis biológicas simétricas, como a altura corporal humana. A intuição para seu uso como modelo parte de um raciocínio simples. Alturas de adultos em uma população se distribuem em torno de um valor típico, com variação relativamente pequena e simétrica acima e abaixo desse valor.
O objetivo desta leitura é construir o modelo **antes** de observar os dados. O raciocínio bayesiano começa pela especificação do modelo completo, incluindo as distribuições a priori para os parâmetros, e só então confronta as predições com as observações.
## O modelo formal
O modelo de probabilidade para a altura $Y$ de um adulto é:
$$Y \sim \text{Normal}(\mu,\, \sigma)$$
Essa equação diz que a altura $Y$ é uma variável aleatória gerada por uma Distribuição Normal com parâmetros desconhecidos $\mu$ e $\sigma$. O parâmetro $\mu$ representa a altura média na população e $\sigma$ representa a variabilidade típica das alturas ao redor dessa média.
Na abordagem bayesiana, os parâmetros $\mu$ e $\sigma$ não são valores fixos desconhecidos. São variáveis aleatórias com suas próprias distribuições de probabilidade, chamadas distribuições a priori. O modelo completo especifica tanto a distribuição dos dados dado os parâmetros quanto as distribuições a priori para os parâmetros:
$$Y \sim \text{Normal}(\mu,\, \sigma)$$
$$\mu \sim \text{Normal}(\mu_0,\, \sigma_0)$$
$$\sigma \sim \text{Exponencial}(\lambda)$$
## Distribuição a priori para $\mu$
A distribuição a priori para $\mu$ deve refletir o conhecimento disponível sobre a altura média adulta antes de ver os dados. Esse conhecimento é expresso na forma de uma distribuição de probabilidade sobre os valores plausíveis de $\mu$.
Para adultos humanos, alturas médias em torno de 150 a 180 cm são razoáveis para a maior parte das populações. Uma distribuição a priori que concentra a probabilidade nessa região, mas permite valores fora dela, é:
$$\mu \sim \text{Normal}(160,\, 20)$$
Essa distribuição a priori atribui a maior densidade de probabilidade a valores de $\mu$ entre 120 e 200 cm (aproximadamente $\pm 2\sigma$), cobrindo uma faixa generosa sem eliminar valores biologicamente plausíveis.
```{r}
#| code-fold: true
# Visualização da distribuição a priori para mu
mu_vals <- seq(80, 240, length.out = 400)
plot(mu_vals, dnorm(mu_vals, mean = 160, sd = 20),
type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
xlab = expression(mu ~ "(cm)"),
ylab = "Densidade a priori",
main = expression("Distribuição a priori para " ~ mu ~ ": Normal(160, 20)"))
abline(v = c(120, 200), lty = 2, col = "gray50")
```
::: {.callout-tip appearance="minimal"}
A distribuição a priori $\text{Normal}(160, 20)$ para $\mu$ é **fracamente informativa**: ela cobre alturas médias entre 80 e 240 cm, atribuindo probabilidade não negligenciável a uma ampla faixa de valores. Essa escolha reconhece nossa incerteza sobre a população específica sendo estudada.
:::
## Distribuição a priori para $\sigma$
O desvio padrão $\sigma$ mede a variabilidade das alturas ao redor de $\mu$. Duas restrições fundamentais condicionam a escolha da distribuição a priori para $\sigma$:
1. $\sigma$ deve ser estritamente positivo.
2. Valores muito grandes de $\sigma$ (acima de 50 cm, por exemplo) são biologicamente implausíveis para alturas adultas em uma população homogênea.
Uma distribuição a priori fracamente informativa que respeita essas restrições é a Distribuição Exponencial:
$$\sigma \sim \text{Exponencial}(0{,}1)$$
Com taxa $\lambda = 0{,}1$, a média da distribuição é $1/\lambda = 10$ cm, próxima da variabilidade típica de alturas adultas. A distribuição decai progressivamente para valores maiores, sem excluir nenhum valor positivo.
```{r}
#| code-fold: true
# Visualização da distribuição a priori para sigma
sigma_vals <- seq(0, 60, length.out = 400)
plot(sigma_vals, dexp(sigma_vals, rate = 0.1),
type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
xlab = expression(sigma ~ "(cm)"),
ylab = "Densidade a priori",
main = expression("Distribuição a priori para " ~ sigma ~ ": Exponencial(0,1)"))
abline(v = 10, lty = 2, col = "gray50") # media da distribuicao
```
::: {.callout-tip appearance="minimal"}
A distribuição a priori $\text{Exponencial}(0{,}1)$ concentra a probabilidade em valores de $\sigma$ entre 0 e 30 cm, cobrindo a faixa de variabilidade biologicamente razoável para alturas adultas. Valores de $\sigma$ próximos de zero (população quase uniforme em altura) ou acima de 50 cm (variabilidade enorme) recebem probabilidade pequena, mas não são excluídos.
:::
## O modelo generativo completo
O modelo completo tem três níveis:
$$Y \sim \text{Normal}(\mu,\, \sigma) \quad \text{(distribuição dos dados)}$$
$$\mu \sim \text{Normal}(160,\, 20) \quad \text{(distribuição a priori para } \mu \text{)}$$
$$\sigma \sim \text{Exponencial}(0{,}1) \quad \text{(distribuição a priori para } \sigma \text{)}$$
Esse conjunto de equações define um modelo generativo que após especificado, pode gerar dados simulados com a mesma estrutura probabilística esperada para os dados reais. As distribuições a priori para $\mu$ e $\sigma$ representam portanto o que o modelo sabe *antes de ver qualquer observação*.
Uma vez especificado, esse modelo também pode ser usado para **predição**. Na abordagem bayesiana, prever novos valores de $Y$ não significa usar apenas um valor fixo para $\mu$ e $\sigma$, mas combinar a incerteza sobre os parâmetros com a variabilidade intrínseca do processo gerador dos dados. Antes de observar qualquer dado, essa combinação produz a **distribuição preditiva a priori**.
Duas fontes principais de incerteza estão envolvidas nessa predição:
1. **Incerteza sobre os parâmetros**: decorre do fato de que os valores verdadeiros de $\mu$ e $\sigma$ ainda são desconhecidos e, por isso, são descritos por distribuições a priori.
2. **Incerteza aleatória**: decorre da variabilidade natural das alturas na população, mesmo que os valores de $\mu$ e $\sigma$ fossem conhecidos.
A combinação dessas duas fontes de incerteza produz uma distribuição para futuras observações que é mais ampla do que a incerteza sobre a média populacional isoladamente. É justamente essa ideia que será formalizada a seguir pela distribuição preditiva a priori.
# Distribuição preditiva a priori
## O que é a distribuição preditiva a priori
A distribuição preditiva a priori é a distribuição dos valores de $Y$ que o modelo espera gerar antes de observar qualquer dado. Ela é obtida integrando o modelo completo sobre a distribuição a priori dos parâmetros:
$$P(Y) = \int\!\int P(Y \mid \mu, \sigma)\, P(\mu)\, P(\sigma)\, d\mu\, d\sigma$$
Essa integral não precisa ser calculada analiticamente. O mesmo resultado se obtém por simulação em três passos:
1. Sortear um valor de $\mu$ da distribuição a priori $\text{Normal}(160, 20)$.
2. Sortear um valor de $\sigma$ da distribuição a priori $\text{Exponencial}(0{,}1)$.
3. Gerar uma altura $Y$ da distribuição $\text{Normal}(\mu, \sigma)$.
Repetindo esses três passos muitas vezes, obtém-se uma amostra da distribuição preditiva a priori.
## Simulação em R
```{r}
set.seed(2026)
N <- 2000
# Passo 1: amostrar mu da distribuicao a priori
mu_sim <- rnorm(N, mean = 160, sd = 20)
# Passo 2: amostrar sigma da distribuicao a priori
sigma_sim <- rexp(N, rate = 0.1)
# Passo 3: gerar uma altura para cada par (mu, sigma)
y_sim <- rnorm(N, mean = mu_sim, sd = sigma_sim)
# Distribuição a priori preditiva
hist(y_sim, freq = FALSE, breaks = 50,
xlab = "Altura simulada (cm)",
ylab = "Densidade",
main = "Distribuição a priori preditiva — alturas de adultos")
```
::: {.callout-important appearance="minimal" title="Interpretando a distribuição preditiva a priori"}
O histograma gerado pelo código acima mostra a distribuição de alturas que o modelo prediz **antes de observar qualquer dado**. Ele responde à pergunta: "Se minhas distribuições a priori para $\mu$ e $\sigma$ estão corretas, que alturas devo esperar observar?"
Duas verificações são úteis ao analisar esse histograma:
1. A distribuição cobre alturas razoáveis para adultos humanos (aproximadamente 100 a 220 cm)?
2. O modelo atribui probabilidade substancial a valores impossíveis, como alturas negativas ou acima de 3 metros?
Se a distribuição preditiva a priori contiver muitas alturas biologicamente impossíveis, as distribuições a priori para $\mu$ e $\sigma$ precisam ser revisadas. A distribuição preditiva a priori é uma ferramenta de verificação das escolhas a priori antes de confrontar o modelo com dados reais.
:::
## A inspeção da distribuição preditiva a priori
A checagem preditiva a priori revela as consequências das escolhas de distribuição a priori sobre o espaço dos dados que o modelo pode gerar. Distribuições a priori que parecem razoáveis no espaço dos parâmetros podem gerar predições implausíveis no espaço dos dados.
Por exemplo, uma distribuição a priori $\mu \sim \text{Normal}(160, 100)$ parece ampla e não informativa no espaço de $\mu$. No entanto, ela produz valores de $\mu$ frequentemente abaixo de zero ou acima de 360 cm, o que resulta em alturas simuladas completamente fora do intervalo biologicamente possível. A distribuição preditiva a priori torna esse problema visível.
```{r}
#| fig-width: 10
#| code-fold: true
# Comparacao: priori mais dispersa para mu
mu_sim_amplo <- rnorm(N, mean = 160, sd = 100) # priori mais dispersa
y_sim_amplo <- rnorm(N, mean = mu_sim_amplo, sd = sigma_sim)
# Visualizacao lado a lado
par(mfrow = c(1, 2))
hist(y_sim, freq = FALSE, breaks = 50,
xlab = "Altura (cm)", ylab = "Densidade",
main = expression("Priori: " ~ mu %~% Normal(160, 20)))
hist(y_sim_amplo, freq = FALSE, breaks = 50,
xlab = "Altura (cm)", ylab = "Densidade",
main = expression("Priori: " ~ mu %~% Normal(160, 100)))
```
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Comparar as duas distribuições preditivas a priori deixa claro que a escolha $\mu \sim \text{Normal}(160, 20)$ produz predições mais compatíveis com alturas humanas plausíveis. A distribuição a priori mais dispersa, apesar de parecer "menos informativa" no espaço dos parâmetros, gera predições biologicamente absurdas.
Essa comparação ilustra um princípio geral: distribuições a priori fracamente informativas e cuidadosamente escolhidas são preferíveis a distribuições aparentemente amplas que, apesar de parecerem conservadoras no espaço dos parâmetros, produzem predições implausíveis no espaço dos dados.
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# Referências
