Inferência Bayesiana Binomial com PyMC

Estimando \(p\) usando modelagem probabilística

Introdução à modelagem probabilística na abordagem bayesiana.

O PyMC é uma biblioteca de programação probabilística em Python que facilita a construção de modelos bayesianos, utilizando métodos como a amostragem MCMC (Markov Chain Monte Carlo) para estimar distribuições a posteriori de forma eficiente.

Para modelar uma variável aleatória com distribuição Binomial, podemos especificar uma distribuição a priori do tipo Beta para o parâmetro \(p\), observar os dados (número de sucessos em \(N\) ensaios) e, então, obter a distribuição a posteriori utilizando técnicas de amostragem fornecidas pelo PyMC.

1 Estimativa Bayesiana com PyMC

  1. Definir os dados

    • \(N\): número total de observações (ensaios Bernoulli).
    • \(k\): número de sucessos observados.

  2. Definir o modelo probabilístico

    • Especifique uma distribuição a priori para o parâmetro \(p\), como uma Beta(\(\alpha\), \(\beta\)).

    • Modele os dados observados usando uma distribuição Binomial(\(N\), \(p\)):

      with pm.Model() as modelo:
    p = pm.Beta("p", alpha=α_prior, beta=β_prior)
    y = pm.Binomial("y", n=N, p=p, observed=k)

  3. Executar a amostragem MCMC

    • Use o método pm.sample() para gerar amostras da distribuição a posteriori.

    • O PyMC utiliza, por padrão, o algoritmo NUTS (No-U-Turn Sampler), baseado em Hamiltonian Monte Carlo.

      trace = pm.sample()

  4. Inspecionar os resultados da amostragem

    • Use az.summary(trace) para obter estatísticas descritivas: média, desvio padrão, intervalos de credibilidade, \(\hat{R}\) (diagnóstico de convergência), entre outros.
    • Visualize as cadeias com az.plot_trace(trace), que mostra as séries temporais e histogramas das amostras.
    • Visualize a distribuição a posteriori com az.plot_posterior(trace, var_names=["p"]).

  5. Calcular probabilidades e intervalos de credibilidade

    • Use as amostras da posteriori para calcular quantidades como \(P(x_1 \leq p \leq x_2)\), filtrando os valores de p entre esses limites e estimando a proporção.

    • Exemplo:

      amostras_p = trace.posterior["p"].values.flatten()
prob = ((amostras_p >= x1) & (amostras_p <= x2)).mean()

  6. Visualizar os resultados

    • Faça gráficos para comparar a priori e a posteriori, ou destacar regiões de interesse com os intervalos de credibilidade.
    • Combine visualizações com matplotlib, arviz e outras bibliotecas para tornar as conclusões mais claras.

2 Exemplo em Python

import pymc as pm
import arviz as az  # Pacote auxiliar para análise e visualização dos resultados

# 1. Definir os dados observados
N = 10    # Número total de ensaios (Bernoulli)
k = 6     # Número de sucessos observados

# 2. Parâmetros da distribuição a priori (Beta)
alpha_param = 2
beta_param = 2

# 3. Definir o modelo probabilístico no PyMC
with pm.Model() as model:
    # 3.1. Definição da distribuição a priori para p
    p = pm.Beta("p", alpha=alpha_param, beta=beta_param)
    
    # 3.2. Observações via distribuição Binomial
    obs = pm.Binomial("obs", n=N, p=p, observed=k)
    
    # 4. Amostragem MCMC (posteriori)
    trace = pm.sample()

# 5. Inspeção dos resultados
print(az.summary(trace, var_names=["p"], kind="stats"))

# 6. Visualizações da amostragem e da posteriori
az.plot_trace(trace, var_names=["p"])  # Trajetória e histograma das amostras
az.plot_posterior(trace, var_names=["p"], rope=[0.3, 0.7]);  # Posteriori com intervalo de relevância






    mean     sd  hdi_3%  hdi_97%
p  0.573  0.124   0.347    0.806






































3 Interpretação


    

  • A forma e a localização da posteriori dependerão tanto dos dados observados (\(k\), \(N\)) quanto dos parâmetros da distribuição a priori (\(\alpha\), \(\beta\)).
    

    • 

  • Conforme \(N\) aumenta, a verossimilhança passa a dominar o resultado, reduzindo o impacto de uma a priori moderada.
    

    • 

  • Se você alterar \(\alpha_{\mathrm{prior}}\) e \(\beta_{\mathrm{prior}}\), verá como suposições prévias mudam a forma inicial da posteriori, sobretudo em situações com poucos dados.
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4 Exercício


    

  • Varie \(N\) e \(k\) para simular cenários distintos (poucos sucessos, muitos sucessos) e veja como a posteriori se adapta.
    

    • 

  • Altere \(\alpha_{\mathrm{prior}}\) e \(\beta_{\mathrm{prior}}\) (por exemplo, prior fortemente concentrada em 0.8) e observe se, com poucos dados, a posteriori permanece próxima da distribuição a priori.
    •