Descrevendo variáveis quantitativas

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Variáveis quantitativas
Distribuição de frequência
Exploração de variáveis quantitativas por meio de tabelas de frequência, histogramas e gráficos de frequência acumulada. 
library(tidyverse)
library(gt)

Variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. A descrição dos padrões de distribuição para esses tipos de variáveis é feita utilizando tabelas (frequência e frequência acumulada) e gráficos (histogramas ou gráficos de frequência acumulada).

1 Tabelas de frequência para variáveis quantitativas

A construção de tabelas de frequências para variáveis quantitativas necessita que agrupemos as observações em faixas de valores. Veja as observações abaixo por exemplo:

\(X =\) {2.66, 3.72, 5.73, 9.08, 2.02, 8.98, 9.45, 6.61, 6.29, 0.62}

Podemos agrupá-las nas seguintes faixas de valores:

(0,2], (2,4], (4,6], (6,8], (8,10]

Estas faixas de valores são denominadas de intervalos de classe. Se alocadas nestes intervalos, as observações ficam:

X <- c(2.66, 3.72, 5.73, 9.08, 2.02, 8.98, 9.45, 6.61, 6.29, 0.62)
Classes <- cut(X, seq(0, 10, by = 2))

df <- data.frame(X, Classes)

df |> 
  gt()
X Classes
2.66 (2,4]
3.72 (2,4]
5.73 (4,6]
9.08 (8,10]
2.02 (2,4]
8.98 (8,10]
9.45 (8,10]
6.61 (6,8]
6.29 (6,8]
0.62 (0,2]

Uma tabela de frequência para estas observações é construída contando o número de observações por intervalo de classes. Neste caso:

df |> 
  group_by(Classes) |> 
  summarise(Frequencia = n()) |> 
  gt()
Classes Frequencia
(0,2] 1
(2,4] 3
(4,6] 1
(6,8] 2
(8,10] 3

Na coluna Frequencia, temos o número de observações da variável X para cada um dos intervalos de classe.

1.1 Alterando o tamanho dos intervalos de classe

No exemplo anterior, definimos os limites dos intervalos de classe de 2 em 2 unidades. Poderíamos ter escolhido outros tamanhos, por exemplo, de 4 em 4. Neste caso teríamos:

Classes <- cut(X, seq(0, 12, by = 4))
data.frame(X, Classes) |> 
  group_by(Classes) |> 
  summarise(Frequencia = n()) |> 
  gt()
Classes Frequencia
(0,4] 4
(4,8] 3
(8,12] 3

Note que ao escolhermos o tamanho dos intervalos de classe, estamos criando a variável qualitativa ordinal Classes, a partir do agrupamento das observações em X. Neste sentido, não há um único tamanho correto para os intervalos de classe. O objetivo é encontrar um tamanho que permita evidenciar os padrões de distribuição da variável sem perdermos muitos detalhes.

Poderíamos escolher um tamanho muito grande, de 5 em 5. Neste caso, teríamos somente 2 grupos.

Classes <- cut(X, seq(0, 10, by = 5))
data.frame(X, Classes) |> 
  group_by(Classes) |> 
  summarise(Frequencia = n()) |> 
  gt()
Classes Frequencia
(0,5] 4
(5,10] 6

Por outro lado, poderíamos escolher um tamanho muito pequeno, por exemplo, de 1 em 1.

Classes <- cut(X, seq(0, 10, by = 1))
data.frame(X, Classes) |> 
  group_by(Classes) |> 
  summarise(Frequencia = n()) |> 
  gt()
Classes Frequencia
(0,1] 1
(2,3] 2
(3,4] 1
(5,6] 1
(6,7] 2
(8,9] 1
(9,10] 2

Nas duas situações, não é possível evidenciar os padrões de distribuição da variável X. Na primeira, perdemos muita informação agrupando as observações em somente duas faixas e, na última, perdemos a capacidade de visualizar os padrões de distribuição de X.

1.2 Tabela de frequência para a CPUE

Importe a base de dados Reservatorios_Parana_parcial.csv.

res <- read_delim(
  file = "https://raw.githubusercontent.com/FCopf/datasets/refs/heads/main/Reservatorios_Parana_parcial.csv",
  delim = ",",
  locale = locale(decimal_mark = ".", encoding = "latin1")
)

No objeto res, temos 8 variáveis quantitativas: Fechamento, Area, pH, Condutividade, Alcalinidade, P.total, Riqueza, CPUE. Vamos verificar como fica uma tabela de frequências para a variável CPUE, que expressa a captura em \(kg\) de peixes em cada reservatório. Inicialmente, vamos selecionar somente esta coluna da tabela e visualizá-la em ordem crescente.

sort(res$CPUE)
 [1]  2.05  2.43  4.01  4.71  5.60  5.95  6.29  7.35  7.51  7.75  7.95  9.22
[13]  9.40 11.59 11.73 11.74 12.55 13.04 13.12 13.67 13.72 13.86 16.10 16.50
[25] 17.95 20.83 20.92 21.82 24.88 28.73 30.76

Vemos que o menor valor é 2.05 \(kg\) e o maior 30.76 \(kg\). Assumindo que temos 31 observações, vamos criar um intervalo de classes de 5 em 5 unidades. Para isso, criaremos a variável cl_cpue, que será uma sequência de \(0\) a \(35\), com tamanho \(5\). Os valores nesta sequência são os limites de classe.

cl_cpue <- seq(from = 0, to = 35, by = 5)
cl_cpue
[1]  0  5 10 15 20 25 30 35

Utilizaremos os limites de classe para gerar uma nova coluna, delimitando os intervalos a que cada observação pertence. Para isso, utilizaremos a função cut.

tab_cpue <- res |> 
  select(CPUE) |> 
  mutate(int_cpue = cut(CPUE, breaks = cl_cpue))

E veremos a tabela em ordem crescente de classes para facilitar a identificação de padrões.

tab_cpue |> 
  arrange(CPUE) |> 
  gt()
CPUE int_cpue
2.05 (0,5]
2.43 (0,5]
4.01 (0,5]
4.71 (0,5]
5.60 (5,10]
5.95 (5,10]
6.29 (5,10]
7.35 (5,10]
7.51 (5,10]
7.75 (5,10]
7.95 (5,10]
9.22 (5,10]
9.40 (5,10]
11.59 (10,15]
11.73 (10,15]
11.74 (10,15]
12.55 (10,15]
13.04 (10,15]
13.12 (10,15]
13.67 (10,15]
13.72 (10,15]
13.86 (10,15]
16.10 (15,20]
16.50 (15,20]
17.95 (15,20]
20.83 (20,25]
20.92 (20,25]
21.82 (20,25]
24.88 (20,25]
28.73 (25,30]
30.76 (30,35]

A nova tabela tab_cpue tem agora duas colunas: os valores numéricos de CPUE e os valores transformados em intervalos de classe, int_cpue. É com esta última que montaremos a tabela de frequência.

fre_cpue <- tab_cpue |> 
  group_by(int_cpue) |> 
  summarise(Frequencia = n())

fre_cpue |> 
  gt()
int_cpue Frequencia
(0,5] 4
(5,10] 9
(10,15] 9
(15,20] 3
(20,25] 4
(25,30] 1
(30,35] 1

E, em seguida, de frequência relativa:

fre_cpue <- fre_cpue |> 
  mutate(Freq_relativa = Frequencia / sum(Frequencia))

fre_cpue |> 
  gt()
int_cpue Frequencia Freq_relativa
(0,5] 4 0.12903226
(5,10] 9 0.29032258
(10,15] 9 0.29032258
(15,20] 3 0.09677419
(20,25] 4 0.12903226
(25,30] 1 0.03225806
(30,35] 1 0.03225806

Veja que os intervalos de (5,10] e (10,15] contêm o maior número de observações, cerca de 29% cada um, e que acima de \(25\) \(kg\) temos somente duas observações.

1.3 Tabela de frequência acumulada

Outra forma de representar o padrão de distribuição para uma variável quantitativa é apresentá-la em uma tabela de frequência acumulada. Fazemos isso somando de forma cumulativa as observações em cada classe de intervalo e criando duas colunas adicionais de frequência acumulada e de frequência relativa acumulada.

fre_cpue <- fre_cpue |> 
  mutate(F_acumulada = cumsum(Frequencia),
         FR_acumulada = cumsum(Freq_relativa))

fre_cpue |> 
  gt()
int_cpue Frequencia Freq_relativa F_acumulada FR_acumulada
(0,5] 4 0.12903226 4 0.1290323
(5,10] 9 0.29032258 13 0.4193548
(10,15] 9 0.29032258 22 0.7096774
(15,20] 3 0.09677419 25 0.8064516
(20,25] 4 0.12903226 29 0.9354839
(25,30] 1 0.03225806 30 0.9677419
(30,35] 1 0.03225806 31 1.0000000

Veja agora que a última linha da coluna de frequência acumulada é igual ao número de observações total e que a da frequência relativa acumulada é igual a 1.

2 Representação gráfica: histogramas

Histogramas são representações das tabelas de frequência e de frequência relativa. Um histograma da coluna CPUE pode ser feito com o comando:

ggplot(res, aes(x = CPUE)) +
  geom_histogram()

Os intervalos de classe foram escolhidos automaticamente pela função geom_histogram. Se quisermos ter o controle sobre estes intervalos, podemos adicionar o argumento breaks e a sequência com os limites de classe que criamos anteriormente:

ggplot(res, aes(x = CPUE)) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue)

A formatação do histograma acima pode ser melhorada de diversas formas, por exemplo:

ggplot(res, aes(x = CPUE, label = after_stat(count))) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue, 
                 fill = 'darkblue', color = 'white') +
  labs(x = 'Captura em kg', y = 'Frequência') +
  geom_text(stat = "bin", size = 6, vjust = 1.5, color = 'white',
            breaks = cl_cpue) +
  theme_classic()

  • Modificamos a cor do preenchimento (fill = 'darkblue'), e identificamos as barras individualmente traçando uma linha branca entre elas (color = 'white');
  • Reescrevemos o rótulo dos eixos \(x\) e \(y\) (labs());
  • Identificamos as frequências em cada barra individualmente com o argumento label = after_stat(count) e a função geom_text;
  • Modificamos o tema do gráfico para obter uma alteração geral na aparência da figura. Existem diversos outros temas possíveis que podem ser vistos aqui.

Um histograma com a frequência relativa pode ser obtido com:

ggplot(res, aes(x = CPUE,
                y = after_stat(count)/sum(after_stat(count)),
                label = round(after_stat(count)/sum(after_stat(count)), 2))) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue, 
                 fill = 'darkblue', color = 'white') +
  labs(x = 'Captura em kg', y = 'Frequência relativa') +
  geom_text(stat = "bin", size = 6, vjust = 1.5, color = 'white',
            breaks = cl_cpue) +
  theme_classic()

Aqui fizemos duas mudanças: + Inserimos o argumento y = after_stat(count)/sum(after_stat(count)) para dizer que as barras em \(y\) devem mostrar a contagem do número de observações em cada intervalo dividido pelo total; + Modificamos o argumento label = round(after_stat(count)/sum(after_stat(count)), 2) de modo que também mostre a frequência relativa, utilizando a função round.

2.1 Representando frequências acumuladas

A única modificação neste caso será identificarmos o eixo \(y\) por sua contagem acumulada: y = cumsum(after_stat(count)).

ggplot(res, aes(x = CPUE,
                y = cumsum(after_stat(count)),
                label = round(cumsum(after_stat(count)), 2))) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue, 
                 fill = 'darkblue', color = 'white') +
  labs(x = 'Captura em kg', y = 'Frequência acumulada') +
  geom_text(stat = "bin", size = 6, vjust = 1.5, color = 'white',
            breaks = cl_cpue) +
  theme_classic()

Para fazer o mesmo mostrando as frequências relativas, fazemos:

ggplot(res, aes(x = CPUE,
                y = cumsum(after_stat(count)/sum(after_stat(count))),
                label = round(cumsum(after_stat(count)/sum(after_stat(count))), 2))) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue, 
                 fill = 'darkblue', color = 'white') +
  labs(x = 'Captura em kg', y = 'Frequência acumulada relativa') +
  geom_text(stat = "bin", size = 6, vjust = 1.5, color = 'white',
            breaks = cl_cpue) +
  theme_classic()