Medidas de tendência central

Análise de dados

Estatística descritiva

Tendência central

Distribuição de dados

Discussão das principais medidas de tendência central (média, mediana, moda) e sua interpretação em diferentes distribuições.

Pacotes e funções utilizados

library(tidyverse)
library(gt)
library(patchwork)
source('scripts/getmode.r')
source('scripts/assimetria_ggplot.r')

Tabelas de frequência e histogramas permitem a visualização dos padrões de distribuição de uma variável quantitativa, evidenciando limites inferiores e superiores, faixas de valores mais ou menos frequentes etc. Neste capítulo, veremos medidas-resumo que possibilitam descrever a tendência central de um conjunto de dados. Algumas dessas medidas são a média aritmética, a mediana, a moda e o ponto médio.

1 Média aritmética

Considere a variável \(X\) com \(n\) elementos \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(\cdots, X_n\). A média aritmética (\(\overline{X}\)) é dada por:

\[\overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3+\cdots+X_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n{X_i}}{n}\]

Exemplo

Seja a variável \(X\) abaixo:

Código

n <- 5
set.seed(1)
X <- sample(x = 1:10, size = n, rep = TRUE)

\(X =\) {9, 4, 7, 1, 2}

\(X\) possui 5 observações e tem média:

\(\overline{X}=\frac{9 + 4 + 7 + 1 + 2}{5}\)

\(\overline{X}=\frac{23}{5} = 4.6\)

2 Mediana

É definida como o valor do meio de uma distribuição, de modo que metade dos valores está abaixo e metade acima da mediana. Se organizarmos a variável \(X\) em ordem crescente teremos:

Código

X <- sort(X)
Xmed <- median(X)

\(X =\) {1,2 , 4 , 7,9}

sendo a mediana igual a \(4\).

Neste exemplo, temos \(n = 5\) observações. Se tivermos um número par de observações, teremos duas na posição central. Por exemplo, se:

Código

set.seed(1)
X <- sample(x = 1:10, size = 6, rep = TRUE)

\(X =\) {9, 4, 7, 1, 2, 7}

vemos que após ordenarmos \(X\):

\(X =\) {1, 2, 4, 7, 7, 9}

teremos o \(4\) e o \(7\) como valores do meio.

Neste caso, a mediana fica como sendo:

\(\frac{4 + 7}{2} = 5.5\)

3 Moda

É definida como o valor mais frequente de uma distribuição.

Código

set.seed(1)
X <- sample(x = 1:10, size = 6, rep = TRUE)

Para \(X =\) {9, 4, 7, 1, 2, 7}, a moda é 7, o valor que mais se repete na distribuição.

Nota

A moda nem sempre é única. Se vários valores repetem-se igualmente, teremos mais de uma moda na distribuição.

4 Ponto médio

É calculado com base nos dois valores extremos da distribuição (mínimo e máximo), sendo obtido por:

\[P_{medio}=\frac{X_{minimo} + X_{maximo}}{2}\]

Para \(X =\) {9, 4, 7, 1, 2, 7}, o ponto médio é:

\(PM = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

5 Efeito da assimetria sobre os descritores de tendência central

Cada um dos descritores de tendência central descritos acima é mais ou menos sensível ao grau de assimetria de uma distribuição. Em uma distribuição perfeitamente simétrica, onde as observações estão igualmente dispersas acima e abaixo do ponto central, os valores da média, mediana, moda e ponto médio coincidem. Por outro lado, pode ocorrer da distribuição ser assimétrica. Neste caso, a posição relativa dos descritores irá depender se a assimetria é à direita ou à esquerda. Esta discrepância ocorre devido à sensibilidade destes descritores a valores extremos na distribuição. O ponto médio é o mais sensível à presença de pontos extremos, seguido da média, mediana e moda.

Código

# Ver função completa no arquivo 'scripts/assimetria_ggplot.r'
assimetria_ggplot()

Figura 1: Efeito da assimetria de uma distribuição sobre o ponto médio, a média aritmética, a mediana e a moda.

Medidas de tendência central

Média aritmética: utiliza todo o conjunto de dados. Relativamente sensível a valores extremos;

Mediana: o valor do meio. Metade dos pontos está acima e metade abaixo da mediana. A mediana é uma medida resistente a valores extremos;

Moda: valor mais frequente. Se mais de um valor aparece com a mesma frequência, os dados têm uma distribuição multimodal;

Ponto médio: considera somente o valor mínimo e máximo. O ponto médio é fácil de calcular, porém não utiliza a maioria do conjunto de dados e é muito sensível a valores extremos.

6 Obtendo medidas de uma tabela de dados

Importe a base de dados Reservatorios_Parana_parcial.csv.

res <- read_delim(
  file = "https://raw.githubusercontent.com/FCopf/datasets/refs/heads/main/Reservatorios_Parana_parcial.csv",
  delim = ",",
  locale = locale(decimal_mark = ".", encoding = "latin1")
)

Medidas-resumo podem ser obtidas com a função summarise.

Vamos encontrar a média aritmética e a mediana da variável CPUE.

res |> 
  summarise(CPUE_medio = mean(CPUE),
            CPUE_mediana = median(CPUE)) |> 
  gt()

CPUE_medio	CPUE_mediana
12.70097	11.74

Os valores são parecidos, porém a média é um pouco superior. Provavelmente a distribuição deve ser ligeiramente assimétrica à direita. Podemos verificar isto por meio de um histograma.

cl_cpue <- seq(0, 35, by = 5)

ggplot(res, aes(x = CPUE)) +
  geom_histogram(breaks = cl_cpue, 
                 fill = 'darkblue',
                 color = 'white') +
  theme_classic()

Alguns valores de captura próximos a \(30\) kg estão fazendo com que a média esteja um pouco acima da mediana.

Vamos verificar agora a média da variável Area dos reservatórios:

res |> 
  summarise(CPUE_medio = mean(Area, na.rm = TRUE),
            CPUE_mediana = median(Area, na.rm = TRUE)) |> 
  gt()

CPUE_medio	CPUE_mediana
64.7369	12

Para esta variável, a discrepância é muito maior.

obs: tivemos que utilizar o argumento na.rm = TRUE para excluir do cálculo reservatórios com dados faltantes para Area.

cl_area <- seq(0, 500, by = 50)

ggplot(res, aes(x = Area)) +
  geom_histogram(breaks = cl_area, 
                 fill = 'darkblue',
                 color = 'white') +
  theme_classic()

Ao verificar o histograma, vemos que existe uma grande concentração de reservatórios com áreas até \(50\) \(km^2\), porém poucos reservatórios muito grandes com mais de \(200\) \(km^2\). Estes grandes reservatórios deslocam a média aritmética à direita.

Podemos ver quais são estes reservatórios utilizando a função filter.

r_grandes <- res |> 
  filter(Area >= 200) |> 
  select(Reservatorio, Area)

r_grandes |> 
  gt()

Reservatorio	Area
Salto Santiago	208.0
Capivara	419.3
Chavantes	400.0
Rosana	220.0

Entre os 31 reservatórios, temos 4 com áreas acima de \(200\) \(km^2\) (Salto Santiago, Capivara, Chavantes, Rosana). A influência destes reservatórios é maior para a média aritmética, pois esta é mais sensível a valores extremos do que a mediana. Se calcularmos o ponto médio, veremos que esta influência é ainda maior.

res |> 
  summarise(CPUE_medio = mean(Area, na.rm = TRUE),
            CPUE_mediana = median(Area, na.rm = TRUE),
            P_medio = sum(range(Area, na.rm = TRUE)) / 2) |> 
  gt()

CPUE_medio	CPUE_mediana	P_medio
64.7369	12	209.685

Se calcularmos os descritores de tendência central sem estes reservatórios, vemos que a diferença entre os descritores diminui, mas não desaparece, o que ocorre devido à elevada assimetria nesta variável.

res |> 
  filter(Area < 200) |> 
  summarise(CPUE_medio = mean(Area, na.rm = TRUE),
            CPUE_mediana = median(Area, na.rm = TRUE),
            P_medio = sum(range(Area, na.rm = TRUE)) / 2) |> 
  gt()

CPUE_medio	CPUE_mediana	P_medio
25.2028	7.2	69.535