Introdução à Álgebra de Matrizes

Fabio Cop Ferreira e William Remo Pedroso Conti

9833 - BASES DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PARA CIÊNCIAS DO MAR

Conteúdo da aula

  1. Definição de matriz
  2. Adição de matrizes
  3. Multiplicação por um escalar
  4. Multiplicação de matrizes
  5. Transposta de uma matriz
  6. Álgebra de matrizes
  7. Inversa de uma matriz
  8. Inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan
  9. Matrizes elementares
  10. Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Definição de matriz

\[A_{22} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}; B_{33} = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 \end{bmatrix}; C_{34} = \begin{bmatrix} 14 & 15 & 16 & 17 \\ 18 & 19 & 20 & 21 \\ 22 & 23 & 24 & 25 \end{bmatrix}\]

Estrutura geral: Para uma matriz \(m \times n\), \(A = [a_{ij}]\)

\[A_{mn} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

Adição de matrizes

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}; B = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(A + B = \begin{bmatrix} 1 + 9 & 4 + 8 & 7 + 7 \\ 2 + 6 & 5 + 5 & 8 + 4 \\ 3 + 3 & 6 + 2 & 9 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 12 & 14 \\ 8 & 10 & 12 \\ 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}\)

Estrutura Geral: Para duas matrizes \(m \times n\), \(A = [a_{ij}]\) e \(B = [b_{ij}]\):

\[A + B = [a_{ij} + b_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}\]

Multiplicação por um escalar

Seja \(A\) uma matriz \(3 \times 3\):

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\)

A multiplicação de \(A\) por um escalar \(c = 3\):

\(cA = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 4 & 3 \times 7 \\ 3 \times 2 & 3 \times 5 & 3 \times 8 \\ 3 \times 3 & 3 \times 6 & 3 \times 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 12 & 21 \\ 6 & 15 & 24 \\ 9 & 18 & 27 \end{bmatrix}\)

Estrutura Geral: Para uma matriz \(m \times n\), \(A = [a_{ij}]\) e um escalar \(c\):

\[cA = [c \times a_{ij}] = \begin{bmatrix} c \times a_{11} & c \times a_{12} & \cdots & c \times a_{1n} \\ c\times a_{21} & c \times a_{22} & \cdots & c \times a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c \times a_{m1} & c \times a_{m2} & \cdots & c \times a_{mn} \end{bmatrix}\]

Multiplicação de matrizes

Seja \(A\) uma matriz \(2 \times 3\):

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\)

e \(B\) uma matriz \(3 \times 2\):

\(B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}\)

A multiplicação de \(A\) por \(B\):

\(AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}\)

Estrutura Geral: Para uma matriz \(m \times n\), \(A = [a_{ij}]\), e uma matriz \(n \times p\), \(B = [b_{ij}]\):

\[AB = [c_{ij}] = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k} b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{1k} b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{1k} b_{kp} \\ \sum_{k=1}^{n} a_{2k} b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{2k} b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{2k} b_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk} b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{mk} b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{mk} b_{kp} \end{bmatrix}\]

Multiplicação de matrizes

Propriedades Algébricas da Multiplicação de Matrizes

Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) matrizes (cujas ordens possibilitem que as operações indicadas sejam realizadas) e seja \(k\) um escalar. Então:

Propriedade Descrição
1 \(A(BC) = (AB)C\) Associatividade
2 \(A(B + C) = AB + AC\) Distributiva à esquerda
3 \((A + B)C = AC + BC\) Distributiva à direita
4 \(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)
5 \(I_m A = A = A I_n\) se \(A\) for \(m \times n\) Identidade da multiplicação

Transposta de uma matriz

Seja \(A\) uma matriz \(2 \times 3\):

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\)

A transposta de \(A\) é dada por \(A^T = [a_{ij}]^T = [a_{ji}]\):

\(A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\)

Estrutura Geral: Para uma matriz \(m \times n\), \(A = [a_{ij}]\):

\(A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\)

\(A^T = [a_{ji}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}\)

Transposta de uma matriz

Propriedades Algébricas da Transposta de Matrizes

Sejam \(A\) e \(B\) matrizes (cujas ordens são tais que as operações indicadas podem ser realizadas) e seja \(k\) um escalar. Então:

Propriedade
1 \((A^T)^T = A\)
2 \((A + B)^T = A^T + B^T\)
3 \((kA)^T = k(A^T)\)
4 \((AB)^T = B^T A^T\)
5 \((A^r)^T = (A^T)^r\) para todos os inteiros \(r\) não negativos

Álgebra de matrizes

Propriedades Algébricas da Adição de Matrizes e da Multiplicação por Escalar

Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) matrizes de mesma ordem, e \(c\) e \(d\) escalares. Então:

Propriedade Descrição
1 \(A + B = B + A\) Comutatividade
2 \((A + B) + C = A + (B + C)\) Associatividade
3 \(A + O = A\)
4 \(A + (-A) = O\)
5 \(c(A + B) = cA + cB\) Distributividade
6 \((c + d)A = cA + dA\) Distributividade
7 \(c(dA) = (cd)A\)
8 \(1A = A\)

Combinações lineares em matrizes

Escrevendo a matriz \(B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) como combinação linear de \(A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\), \(A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) e \(A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

temos

\[c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 = B\]

\[c_1\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\]

A combinção linear pode ser resolvida pelo sistema:

\[ \begin{cases} c_2 + c_3 = 1 \\ c_1 + c_3 = 4 \\ -c_1 + c_3 = 2 \\ c_2 + c_3 = 1 \end{cases} \]

Que tem solução:

\[c_1 = 1\] \[c_2 = -2\] \[c_3 = 3\]

Inversa de uma matriz

Seja \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\) e \(A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

Verificamos que \(A^{-1}\) é inversa de \(A\) pois:

\(AA^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\)

e

\(A^{-1}A = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\)

Definição

Se \(A\) é uma matriz \(n \times n\), uma inversa de \(A\) é uma matriz \(n \times n\) \(A^{-1}\) que satisfaz:

\[AA^{-1} = I\] e \[A^{-1}A = I\]

sendo \(I = I_n\) a matriz identidade \(n \times n\). Se existir uma matriz \(A^{-1}\) assim, diremos que \(A\) é invertível.

Inversa de uma matriz

Em cada exemplo, verifique se a matriz \(B\) é inversa de \(A\)



  1. \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\)
  1. \(A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)



  1. \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}\)
  1. \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 5 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix}\)

Inversa de uma matriz

Verifique que \(A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) invertível e pode ser escrita por:

\(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w & x \\ y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Que resulta no sistema de equações:

\(\begin{cases} 2w + 5y = 1 \\ 2x + 5z = 0 \\ w + 3y = 0 \\ x + 3z = 1 \end{cases}\)

Que pode ser resolvido por:

\(\left[ \begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 5 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 5 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \end{array} \right]\) \(\begin{array}{c} L_1 \leftrightarrow L_3\\ L_2 \leftrightarrow L_4\\ \\ \\ \end{array}\) \(\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 5 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 5 & 0 \end{array} \right]\) \(\begin{array}{c} \\ \\ L_3 - 2L_1 \\ L_4 - 2L_2 \\ \end{array}\) \(\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array} \right]\) \(\begin{array}{c} L_1 + 3L_3 \\ L_2 + 3L_4 \\ -L_3 \\ -L_4 \\ \end{array}\)

\(\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\) \(S = \left[\begin{array}{c} 3 \\ -5 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right]\) Portanto: \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

Inversa de uma matriz

Verifique que \(B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) não é invertível e portanto não pode ser escrita por:

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w & x \\ y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

O sistema de equações lineares fica:

\(\begin{cases} w + 2y = 1 \\ x + 2z = 0 \\ 2w + 4y = 0 \\ 2x + 4z = 1 \end{cases}\)

Que pode ser representado por:

\(\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 4 & 1 \end{array} \right]\) \(\begin{array}{c} \\ \\ L_3 - 2L_1 \\ L_4 - 2L_2 \\ \end{array}\) \(\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right]\)



A matriz na forma escalonada mostra que o sistema não tem solução e portanto a matriz \(B\) não é invertível.

Inversa de uma matriz

Teorema

Se \(A\) é uma matriz \(n \times n\) invertível, o sistema de equações lineares dado por \(A\vec{x} = \vec{b}\) tem uma única solução \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\) para cada \(\vec{b}\) em \(\mathbb{R}^n\).

Propriedades

  1. Se \(A\) é uma matriz invertível, então \(A^{-1}\) é invertível e \((A^{-1})^{-1} = A\).

  2. Se \(A\) é uma matriz invertível e \(c\) é um escalar não nulo, então \(cA\) é uma matriz invertível e \((cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}\).

  3. Se \(A\) e \(B\) são matrizes invertíveis de mesma ordem, então \(AB\) é invertível e \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).

  4. Se \(A\) é uma matriz invertível, então \(A^T\) é invertível e \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\).

  5. Se \(A\) é uma matriz invertível, então, para todo inteiro não negativo \(n\), a matriz \(A^n\) é invertível e \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\).

Inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan

Para encontrar a inversa de uma matriz \(A\) usando o método de Gauss-Jordan, seguimos os seguintes passos:

  1. Formação da Matriz Aumentada:
  • Dada uma matriz \(A\) de ordem \(n \times n\), formamos a matriz aumentada \([A \mid I]\), onde \(I\) é a matriz identidade de ordem \(n \times n\).
  1. Aplicação de Operações Elementares:
  • Aplicamos operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada \([A \mid I]\) para transformar a parte esquerda (a matriz \(A\)) na matriz identidade \(I\).
  1. Obtenção da Inversa:
  • Quando a parte esquerda da matriz aumentada se transforma em \(I\), a parte direita será a matriz inversa \(A^{-1}\). Ou seja, \([I \mid A^{-1}]\).

Inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan

Exemplo Prático

Considere a matriz \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\).

Que tem a matriz aumentada \([A \mid I]\):

\[\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

Aplique operações elementares para transformar a parte esquerda em \(I\):

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} L_1 \leftrightarrow L_3\\ \\ \\ \end{array}\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} \\ L_2 - L_1\\ L_3 - 2L_1\\ \end{array}\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} \\ L_2 \leftrightarrow L_3\\ \\ \end{array}\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} \\ \\ L_3 - 3L_2\\ \end{array}\)

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} \\ \\ -L_3\\ \end{array}\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5 \end{array}\right]\) \(\begin{array}{c} \\ L_2 - L_3\\ \\ \end{array}\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5 \end{array}\right]\)



\[A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}\]

Matrizes Elementares

Definição:

Matrizes elementares são aquelas obtidas através de operações elementares realizadas sobre a matriz identidade. Elas desempenham um papel fundamental na solução de sistemas lineares e na obtenção da inversa de uma matriz.

Exemplos de Operações Elementares:

  1. Troca de Linhas: Exemplo: Trocar a linha 1 pela linha 2.

    \[E = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

  2. Multiplicação de uma Linha por um Escalar: Exemplo: Multiplicar a linha 1 por um escalar \(k\).

    \[E = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

  3. Adição de Múltiplos de Linhas: Exemplo: Adicionar a linha 2 multiplicada por um escalar \(k\) à linha 1.

    \[E = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Exemplo de Matrizes Elementares para Calcular a Inversa

Considere a matriz \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\).

Que foi resolvida no exemplo anterior pela sequência de operações elementares:

  1. \(L_1 \leftrightarrow L_3\)
  2. \(L_2 \rightarrow L_2 - L_1\); \(L_3 \rightarrow L_3 - 2L_1\)
  3. \(L_2 \leftrightarrow L_3\)
  4. \(L_3 \rightarrow L_3 - 3L_2\)
  5. \(L_3 \rightarrow -L_3\)
  6. \(L_2 \rightarrow L_2 - L_3\)

  1. Troca de \(L_1\) e \(L_3\):

    \[E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  2. \(L_2 \rightarrow L_2 - L_1\); \(L_3 \rightarrow L_3 - 2L_1\):

    \[E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

  3. Troca de \(L_2\) e \(L_3\):

    \[E_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

  1. \(L_3 \rightarrow L_3 - 3L_2\):

    \[E_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{bmatrix}\]

  2. Multiplicação de \(L_3\) por \(-1\):

    \[E_5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\]

  3. \(L_2 \rightarrow L_2 - L_3\):

    \[E_6 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Exemplo de Matrizes Elementares para Calcular a Inversa

Estabelecidas as matrizes elementares \(E_1\) a \(E_6\), tem-se a seguinte relação:

\[E_6 \times E_5 \times E_4 \times E_3 \times E_2 \times E_1 \times A = I\]

E consequentemente:

\[E_1^{-1} \times E_2^{-1} \times E_3^{-1} \times E_4^{-1} \times E_5^{-1} \times E_6^{-1} = A\]

O Teorema Fundamental das Matrizes Invertíveis - versão 1

Seja \(A\) uma matriz \(n \times n\). As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. \(A\) é invertível.

  2. \(A\vec{x} = \vec{b}\) tem uma única solução para cada \(\vec{b}\) em \(\mathbb{R}^n\).

  3. \(A\vec{x} = 0\) tem apenas a solução trivial.

  4. A forma escalonada reduzida de \(A\) é \(I_n\).

  5. \(A\) é um produto de matrizes elementares.

Exemplo de aplicação: Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Problema

Os recifes de coral enfrentam várias ameaças ambientais, como branqueamento, acidificação dos oceanos e destruição física. Essas ameaças podem ser modeladas usando uma Cadeia de Markov para entender a probabilidade de um recife estar em um certo estado de saúde ao longo do tempo.

Estados

Definimos três estados possíveis para a saúde de um recife de coral:

  • S1: Saudável
  • S2: Moderadamente Degradado
  • S3: Severamente Degradado

Matriz de Transição

A matriz de transição de estados, \(P\), representa as probabilidades de transição entre os estados de saúde de um recife de coral de um período para o outro.

\[P = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{bmatrix}\]

Cada elemento \(P_{ij}\) na matriz representa a probabilidade de transição do estado \(j\) na coluna para o estado \(i\) na linha. Por exemplo, \(P_{12} = 0.2\) indica que há uma probabilidade de 20% de um recife saudável (\(S1\)) passar para o estado moderadamente degradado (\(S2\)) no próximo período.

Exemplo de aplicação: Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Estado inicial

Vamos considerar que inicialmente no tempo \(t_0\) 80% dos recifes estão saudáveis, 15% estão moderadamente degradados e 5% estão severamente degradados. Isso pode ser representado pelo vetor de estado inicial:

\[\vec{v_0} = \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.15 \\ 0.05 \end{bmatrix}\]

Estado em \(t + 1\)

Para determinar o estado dos recifes após um período de tempo \(t_1\), multiplicamos o vetor de estado inicial pela matriz de transição:

\[ \vec{v_1} = P \times \vec{v_0} = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.15 \\ 0.05 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.61 \\ 0.25 \\ 0.14 \end{bmatrix} \]

Isso significa que, após um período, 61% dos recifes estarão saudáveis, 25% estarão moderadamente degradados e 14% estarão severamente degradados.

Exemplo de aplicação: Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Estado Estacionário

O estado estacionário é um vetor de probabilidades que representa a distribuição dos estados de um sistema em equilíbrio, onde as probabilidades de estar em cada estado não mudam com o tempo. Para uma cadeia de Markov, isso ocorre quando o vetor de estado não muda após uma multiplicação pela matriz de transição.

Se \(\vec{v_{ss}}\) é um vetor de estado estacionário e \(P\) é a matriz de transição, então:

\[ \vec{v_{ss}} = P \times \vec{v_{ss}} \]

Portanto, precisamos resolver o sistema de equações:

\[ \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3 \end{bmatrix} \]

Exemplo de aplicação: Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Resolução do Sistema

Há ainda uma condição adicional de que a soma das probabilidades em \(\vec{v_t}\) seja 1:

\[ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \]

Que gera e sistema de equações:

\[ \begin{cases} 0.7\pi_1 + 0.3\pi_2 + 0.1\pi_3 = \pi_1 \\ 0.2\pi_1 + 0.5\pi_2 + 0.3\pi_3 = \pi_2 \\ 0.1\pi_1 + 0.2\pi_2 + 0.6\pi_3 = \pi_3 \\ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \end{cases} \]

O pode ser reorganizado como:

\[ \begin{cases} -3\pi_1 + 3\pi_2 + \pi_3 = 0 \\ 2\pi_1 - 5\pi_2 + 3\pi_3 = 0 \\ \pi_1 + 2\pi_2 - 4\pi_3 = 0 \\ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \end{cases} \]

E tem solução:

\[ \vec{v_{ss}} = \begin{bmatrix} \frac{7}{17} \\ \frac{11}{34} \\ \frac{9}{34} \end{bmatrix} ~ \sim \begin{bmatrix} 0.4117 \\ 0.3235 \\ 0.2647 \end{bmatrix} \]

Resoluçao completa

Faça o download da RESOLUÇÃO COMPLETA

Exemplo de aplicação: Cadeias de Markov para Recifes de Coral

Interpretação do vetor de Estado Estacionário

No longo prazo, a distribuição das probabilidades entre os estados é:

  • \(\pi_1 = \frac{7}{17} ~ \sim 0.4117\)
  • \(\pi_2 = \frac{11}{34} ~ \sim 0.3235\)
  • \(\pi_3 = \frac{9}{34} ~ \sim 0.2647\)

Conclusão

A existência de um vetor estacionário indica que, independentemente do estado inicial, a cadeia de Markov converge para essa distribuição de probabilidade quando o sistema está em equilíbrio.

Portanto, mantendo as condições atuais que resultam na matriz de transição vigente, espera-se que, a longo prazo, aproximadamente 41,18% do recife de coral permanecerá em condições Saudáveis, 32,35% estará Moderadamente Degradado e 26,47% será Severamente Degradado.